BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG

A.     BANGUN DATAR

Bangun datar adalah suatu bangun geometri yang berbentuk datar

Contoh bangun ruang       :

a.      RUMUS PERSEGI

Luas = s x s = s2 ( Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2, 'sudah dibuktikan' )

Keliling = 4 x s

dengan s = panjang sisi persegi

Contoh Soal :

1.      Jika diketahui panjang sisi persegi 9 cm. Tentukan luas dan keliling persegi tersebut !
 Diketahui :
 s = 9 cm
 Ditanya :
 a. L . . . ?
 b. k . . . ?

Jawab :

a.       L = s x s

L = 9 x 9 = 81 cm²

b.      K = 4 x s

K = 4 x 9 = 36 cm

b.      RUMUS PERSEGI PANJANG

Luas = p x l

Keliling = 2p + 2l atau 2 x (p + l)

dengan p = panjang persegi panjang,

l = lebar persegi panjang

Contoh Soal :

1. Suatu persegi panjang mempunyai panjang = 8 cm dan lebar = 5 cm,

    Berapa Luas dan keliling persegi panjang itu ?

    Jawab :

    - Luas   = p x l

                 = 8 cm x 5 cm = 40 cm2

    - Keliling   = 2 (p+l)

                     = 2 ( 8cm+ 5 cm)

                              = 2 x 13 cm = 26 cm

2. Suatu persegi panjang mempunyai luas = 70 cm2 dan panjang 10 cm,

    Berapa lebar dan keliling persegi panjang tersebut ?

                Jawab:

    - Luas = p x l

                                    l  = luas : p

                           = 70 : 10 =7 cm

                - Keliling   = 2 (10cm+7cm)

                                              = 2 x 17 cm = 34 cm

3. Suatu persegi panjang mempunyai keliling = 44 cm dan lebar = 10 cm. Berapa luas   persegi panjang tersebut ?

Jawab :

Luas = p x l

Lebar = 10 cm ; panjang = belum diketahui

Diketahui keliling = 44 cm

Keliling = 2 ( p + l ) ð 44/2 = 22 cm

                      p + 10 cm = 22 cm

         p = 22 cm – 10 cm = 12 cm

                                                           Sehingga Luas   = p x l

                                                                                      = 12 cm x 10 cm

                                                                                       = 120 cm

c.       RUMUS SEGITIGA

Luas = ½ x a x t

Keliling = s + s + s

dengan a = panjang alas segitiga,

t = tinggi segitiga

Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A² + B² = C²)

Contoh Soal :

1. Suatu segitiga sama sisi mempunyai panjang alas = 8 cm dan tinggi 6 cm,

            Berapa Luas segitiga tersebut

     Jawab :

Luas = ½ x alas x tinggi          = ½ x 8 x 6          = 24 cm2

2. Suatu segitiga mempunyai luas 56 cm2   dengan alas = 14 cm,

    Berapa tinggi segitiga tsb ?

             Jawab

Luas = ½ . a x t    56 = ½ . 14 x t    56 = 7 x t     t  = 56 : 7     t  = 8 cm

d.      RUMUS JAJAR GENJANG

Luas = a x t

Keliling = s + s + s + s

dengan a = panjang alas jajargenjang,

t = tinggi jajargenjang

Contoh Soal :

Suatu jajaran genjang mempunyai panjang= 7 cm dan lebar= 3 cm. Berapa keliling dan luas jajaran genjang tsb?

Jawab :           

- Keliling   = 2 (p+l)

                = 2 x (7 cm+3cm) = 20 cm

- Luas        = alas x tinggi

             = 7 cm x 3 cm = 21 cm²

e.       RUMUS TRAPESIUM

Luas = ½ x (s1 + s2) x t

Keliling = s + s + s + s

dengan s1 dan s2 = sisi-sisi sejajar pada trapesium,

t = tinggi trapesium

Contoh

1.      Suatu trapesium sama kaki ABCD dengan panjang AB= 24 cm dan CD = 12 cm, BC = 10 cm dan tinggi 8 cm, hitunglah keliling dan luasnya!

Jawab:

K = AB + BC + CD + AD

24 cm + 10 cm + 12 cm + 10 cm = 56 cm

L = ½ X (AB + CD) X  t    

      ½ x 36 cm x 8 cm = 144 cm ²

Jadi, keliling trapesuium adalah 56 cm, dan luasnya 144 cm.

2.      Tentukan luas tapesium STUV dibawah ini

Jawab :

L = 1/2 (jumlah sisi sejajar) x tinggi

            L = 1/2 ( 14 + 8 ) x 6

            L = 3 ( 22 )

            L = 66 cm ²

f.        RUMUS LAYANG-LAYANG

Luas = ½ x (d1 x d2)

Keliling = 2 x (sisi panjang + sisi pendek)

dengan d1, d2 = diagonal 1, diagonal 2

Contoh Soal :

1.      Panjang suatu diagonal layang-layang adalah 15 cm dengan luas 45 cm² . Berapakah panjang diagonal layang-layang yang satunya ?

Jawab :

L         = ½ x diagonal 1 x diagonal 2

            45 cm² =  ½ x 15 cm x diagonal 2

                         diagonal 2 = 45/(½ x 15)

                                            = 45 x 7.5

                                            = 6 cm

g.      RUMUS BELAH KETUPAT

Luas = ½ x (d1 x d2)

Keliling = 4 x sisi

d1, d2 = diagonal 1, diagonal 2

Contoh Soal :

1. Panjang sisi belah ketupat = 5 cm, berapakah kelilingnya ?

  Jawab : Keliling = 4 x sisi

                             = 4 x 5 cm = 20 cm

          2. Suatu bangun belah ketupat mempunyai panjang diagonal AC = 7cm, dan Panjang

             diagonal BD = 6 cm, berapa luas belah ketupat tersebut ?

              Jawab :

             

Panjang AC = 7 cm Panjang BD = 6 cm Luas = ½  x AC x BD          = ½ X 7 X 6          = 21 cm2

h.      RUMUS LINGKARAN

Luas = πr² atau ¹/₄ πd²

Keliling = 2 πr atau πd

dengan = π (phi), nilai π = 3,14 atau ²²/₇
 r = jari-jari, nilainya ½ x diameter lingkaran

d = diameter lingkaran, nilainya d = 2p atau 2r
Contoh soal :

1. Suatu lingkaran mempunyai diameter 12 cm, berapakah luas dan keliling lingkaran

   Tersebut ?

               Jawab :

   d = 12 cm ; d = 2r  ð r = 12 / 2

                                                   r =  6 cm

-          Luas  = π r ²

     = 3,14 x 6² cm²

     = 113,04 cm²

-          Keliling     = 2 π r

             = 2 x 3,14 x 6 cm = 37,68 cm

2.      Bearapa luas setengah lingkaran.

         Jawab :

-          Luas lingkaran penuh = π r ²

-          Luas ½  lingkaran = ½ π r ²

= ½ . 3,14 . 8²

= 100,48 cm²

i.        RUMUS BUJUR SANGKAR

Luas = (S x S)

Keliling = (4S) atau (AB + BC + CD + DA)
dengan s = sisi

Contoh Soal :

1. Berapa luas dan keliling bujur sangkar yang mempunyai panjang sisi 5 cm ?

jawab :

- Luas   = sisi x sisi

             = 5 cm x 5 cm = 25 cm2 (satuan luas adalah persegi)

- Keliling  = 4 x sisi

                           = 4 x 5 cm = 20 cm

2. Jika luas suatu bujur sangkar adalah 36 cm2 , berapa panjang sisi dan keliling bujur

    Sangkar Tersebut ?

Jawab:

- misal sisi adalah s  ð Luas   = sisi x sisi = s x s =  s²

 36 cm² = s²

 s² = 36 cm²

 s = Ö 36cm²

 s = 6 cm ð Panjang sisi

- Keliling = 4 x sisi

                             = 4 x 6cm = 24 cm

3. Jika keliling bujur sangkar adalah 48 cm, berapa panjang sisi dan Luas bujur sangkar

    tsb ?

     Jawab : - Keliling = 4 x sisi                 - Luas = sisi x sisi

                        48 cm = 4 x sisi                            = 12 cm x 12 cm

                          sisi = 48 : 4                              =144 cm²

B.     BANGUN RUANG

Bangun ruang adalah  bangun geometri yang membentuk ruang sehingga memiliki volume.
Contoh bangun ruang       :

a.      KUBUS

Bangun kubus mempunyai ketentuan :

Terdapat 6 (enam) buah sisi yang berbentuk persegi dengan masing-masing luasnya sama

Terdapat 12 (dua belas) rusuk dengan panjang yang sama

Semua sudut bernilai 90 derajat atau siku-siku

Rumus Volume Kubus = rusuk x rusuk x rusuk (rusuk pangkat 3)

Rumus Keliling Kubus = 12 x rusuk

Rumus Luas Permukaan Kubus = 6 x rusuk x rusuk

Luas salah satu sisi = rusuk x rusuk

Contoh Soal :

1. Panjang sisi AB adalah 12 cm. Tentukan:
a) volume kubus
b) luas permukaan kubus
c) panjang semua rusuk kubus

Jawab :

a) volume kubus
V = S³
V = 12 ³ = 12 x 12 x 12
V = 1.728 cm ³

b) luas permukaan kubus
Luas seluruh permukaan untuk kubus tertutup :
L = 6 x S ²
L = 6 x 12 ² = 6 x 12 x 12
L = 864 cm²

c) panjang semua rusuk kubus
Jumlah rusuk kubus ada 12 buah sehingga
Panjang semua rusuk = 12 x S
= 12 x 12
= 144 cm

2. Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang sisi bagian dalam adalah 80 cm. Jika bak mandi terisi ³/₄ bagian dengan air tentukan berapa liter volume air di dalam bak mandi tersebut!
Jawab :

Volume bak mandi jika terisi penuh = S³
= 80³ = 80 x 80 x 80
= 512.000 cm³

Bak mandi hanya terisi 3/4 bagian saja sehingga
Volume air = ³/₄ x 512.000
= 384.000 cm³ = 384 liter

b.      BALOK

Bangun balok mempunyai ketentuan :

Rumus Volume Balok = p x l x t (sebenarnya sama dengan kubus, hanya saja kubus memiliki semua rusuk yang sama panjang).

Luas Permukaan Balok = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt)}

Keliling Balok = 4 x (p + l + t)

Diagonal Ruang = Akar dari (p kuadrat + l kuadrat + t kuadrat)

Contoh Soal :

1.   Sebuah balok berukuran 6 x 5 x 4 cm. Tentukan luas permukaan balok.

Penyelesaian :

Dik     : p = 6 cm

              l  = 5 cm

              t  = 4 cm

     Dit      : Luas permukaan balok

     Jawab :

     Luas permukaan balok

     = 2 {( p . l ) + ( l . t ) + ( p . t )}

     = 2 {( 6 . 5 ) + ( 5 . 4 ) + ( 6 . 4 )}

     = 2 ( 30 + 20 + 24)

     = 148 cm²

2. Luas sebuah permukaan balok adalah 22 cm². Jika ukuran panjang 3 cm dan lebarnya 2 cm,hitung tinggi balok itu !
penyelesaian :

Dik :L = 22 cm²

          p = 3 cm

          l = 2 cm

Dit : tinggi balok

jawab :

Luas permukaan = 2 x ( p x l + p x t + l x t )
22 = 2 x ( 3 x 2 + 3 x t + 2 x t )
22 = 2 x ( 6 + 3t + 2 t )
11 = 6 + 5t
5t = 11 – 6
5t = 5
t = 1
Jadi tinggi balok itu adalah 1 cm

c.       TABUNG

Rumus luas tabung /silinder = luas alas + luas tutup + luas selimut atau ( 2 x phi x r x r) + (phi x d x t)

Rumus Volume tabung = luas alas x tinggi atau luas lingkaran x t

Contoh Soal :

Sebuah tabung tertutup dengan jari-jari 20 cm dan tingginya 40 cm seperti gbr. berikut. 

Tentukanlah:
a) volume tabung                              d) luas selimut tabung
b) luas alas tabung                            e) luas permukaan tabung
c) luas tutup tabung                         f) luas permukaan tabung jika tutupnya dibuka
Jawab :

a) volume tabung
rumus volum tabung # V = π r² t
V = 3,14 x 20 x 20 x 40 = 50 240 cm³

b) luas alas tabung
Alas tabung berbentuk lingkaran hingga rumus luas alasnya menjadi
L = π r²
L = 3,14 x 20 x 20 = 1256 cm²

c) luas tutup tabung
Luas tutup tabung juga berbentuk lingkaran sama dengan luas alas tabungnya.
L = 1256 cm²

d) luas selimut tabung
rumus luas selimut tabung # L = 2 π r t
L = 2 x 3,14 x 20 x 40
L = 5 024 cm²

e) luas permukaan tabung
Luas permukaan tabung merupakan jumlah dari luas selimut,  luas alas, dan luas tutup tabung
L = 5 024 + 1 256 + 1 256 = 7 536 cm²

atau dengan menggunakan rumus luas pertabung langsung
L = 2 π r (r + t)
L = 2 x 3,14 x 20 (20 + 40)
L = 12,56 x 60 = 7 536 cm²

f) luas permukaan tabung jika tutupnya dibuka

L = luas permukaan tabung - luas tutup tabung = 7 536 - 1 256 = 6280 cm²

atau bisa juga dengan cara :L = luas selimut + luas alas = 5 024 + 1 256 = 6280 cm²

d.      KERUCUT

Luas Kerucut = luas alas + luas selimut

Volume Kerucut = 1/3 x phi x r x r x t

Contoh Soal :

Sebuah kerucut dengan jari-jari sebesar r = 30 cm dan garis pelukisnya s = 50 cm seperti gbr. berikut. 

Tentukanlah:
a) tinggi kerucut            c) luas selimut kerucut
b) volume kerucut         d) luas permukaan kerucut

Jawab :
a) tinggi dari kerucut
Tinggi kerucut dapat dicari dengan rumus phytagoras dimana
t² = s² − r²
t² = 50² − 30²
t² = 1600
t = √1600 = 40 cm

b) volume kerucut
V = ¹/₃ π r² t
V = ¹/₃ x 3,14 x × 30 x 30 x 40
V = 37 680 cm³

c) luas selimut
Rumus luas selimut kerucur L = π r s
L = 3,14 x 30 x 50
L = 4 710 cm²

d) luas permukaan dari kerucut L = π r (s + r)
L = 3,14 x 30 (50 + 30)
L = 3,14 x 30 x 80 = 7 536 ² 

e.       LIMAS

Luas Limas = luas alas + jumlah luas sisi tegak

Volume Limas = 1/3 luas alas tinggi sisi

Contoh Soal :

1.      Hitunglah luas permukaan limas dengan alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm dan tinggi sisi miring 6 cm …?

2.      Hitunglah panjang tinggi limas dimana alas limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12cm dan lebar 9cm serta volume limas = 432cm³ ….?

3.      Hitunglah luas permukaan limas dengan alas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 6 cm dan 8 cm,jika luas sisi tegaknya masing-masing 24cm², 32cm², 40cm².

PEMBAHASAN :

1. Luas alas limas berbentuk persegi = sisi × sisi

            = 10cm × 10cm

            = 100 cm²   

            Luas sisi miring limas = ½ alas × tinggi

            = ½ 10cm × 6cm

            = ½ 60cm²

            = 30cm²

   jadi luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas sisi tegak 

            = 100cm² + 4(30cm²)

            = 100cm² + 120cm²  = 220cm²

2. Volume = 1/3 luas alas × tinggi

                                 = 1/3 12cm × 9cm × t

                                 = 1/3 108cm² × t

            432cm³ = 36cm² × t

                              t = 12cm

Jadi tinggi limas adalah 12cm

3. Luas alas limas yang berbentuk segi tiga

                                    = ½ alas × tinggi

                                    = ½ 6cm × 8cm

                                    = 24cm²

  luas pemukaan limas = luas alas + jumlah luas sisi tegak limas

                                    = 24cm² + 24cm² + 32cm² + 40cm²

                                    = 120cm²

f.        BOLA

Rumus Bola

Luas = 4 πr²

Volume = ⁴/₃  πr²t atau 4 x ¹/₃ πr²r

pada bola t=r sehingga

Contoh Soal
1. Diketahui jari-jari dari sebuah bola basket adalah 7 cm, apabila π = 22/7 maka berapakah volume dari bola basket tersebut?
Jawab:
  V = 4/3 π x r³
    = 4/3 x 22/7 x 7³
    = 4/3 x 22/7 x 343
    = 1437.3 cm³.
Maka, volume dari bola basket  itu adalah 1437.3 cm³.

2. Sebuah bola karet mempunyai diameter 24cm. berapakah volume udara yang ada di dalam bola tersebut?
Jawab:
Karena yang diketahui adalah diameter maka kita ubah dulu menjadi jari-jari. karena jari-jari = 1/2 dari diameter maka bila diameternya 24cm jari-jarinya adalah 12 cm.
baru kita masukkan ke dalam rumus:
V = 4/3 π x r³
V = 4/3 x 22/7 x 12³
V = 4/3 x 22/7 x 1728
V = 7234,56 cm³
Maka jumlah volume udara yang ada di dalam bola karet itu adalah 7234,56 cm³.

Semoga Bermanfaat buat yang membutuhkan.